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数量关系----均值不等式的常见应用

2019-12-12 11:25:17  来源:中公事业单位考试题库

【导读】

中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试!今天为大家带来数量关系题库:数量关系----均值不等式的常见应用。 

和定最值问题是考试中较为常见的问题,基础的和定最值问题相对简单,同学们也很快能够解题,但是和定最值中还有相对较难的问题,均值不等式就是其中一项,下面就让我们一起看看均值不等式究竟是怎样一回事。

均值不等式是我们高中数学的内容,具体表现为:

即算数平均数≥几何平均数,当a=b时等式成立,观察式子可以知道当a、b和为定值时,a、b乘积存在最大值;当a、b积为定值时,a、b之和存在最小值,整理可得:

两数和定,差小积大;

两数积定,差小和小。

在考试中应用更多的还是第一条,尤其是几何问题和利润问题中,让我们看下具体的应用:

例1:用36米的篱笆围成一边靠墙的菜地,菜地的面积最大为多少?

A.148 B.162 C.188 D.204

同学们从小都知道一个定理,如果是周长一定的正方形和长方形,那么一定是正方形的面积更大,其实这个就是均值不等式的应用。对于本题来说也一样,只不过是36m是3边的和而不是4条边,这就要利用到方程表示出来面积:

一面靠墙的菜地,3边之和是36米,我们不妨就设2条对边为x,则另一条边为(36-2x),可得:

面积S=x×(36-2x)

求S的最大值,36和2先提出来2,得到S=2×x×(18-x),我们发现x和(18-x)无论x取任何值,这两个数的和是一定的,根据“和定,差小积大”可得,当x=18-x时,乘积取得最大值。即x=9,S=2×9×9=162,本题选B。

例2:某汽车坐垫加工厂生产一种汽车座垫,每套成本是144元,售价是200元。一个经销商订购了120套这种汽车座垫,并提出:如果每套座垫的售价每降低2元,就多订购6套。按经销商的要求,该加工厂获得最大利润需售出的套数是(  )。

A.144 B.140 C.136 D.132

解析: 根据题目所求为获得最大利润需售出的套数,根据题意,可设每套坐垫减价2x元,那么就会多订购6x套,利润为y,得:

y =(200-2x-144)×(120+6x)

化简得:y=12(28-x)(20+x)

要求y最大时的x,可以把(28-x)看成一个整体A,(20+x)看成一个整体B,就相当于求A×B的最大值,根据均值不等式推论“和定,差小积大”可知,当且仅当(28-x)=(20+x)时乘积取得最大值,得出x=4,既当坐垫降价2x=8元时,能获得最大利润,所求获得最大利润售出套数为120+6×4=144,选A。

以上就是均值不等式在几何和利润问题中的一些基本理论知识及应用,深化理解,加强练习,一定能够在考试中正确的得到答案。

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